抚顺中考数学试卷答案解析及word文字版下载(难度系数点评)

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2017年抚顺中考数学试卷答案解析及word文字版下载(难度系数点评)

、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(3分)(2014•抚顺)的倒数是(  )
 A.?2B.2C.D.

考点:倒数.
专题:常规题型.
分析:根据倒数的定义求解.
解答:解:?的倒数是?2.
故选:A.
点评:本题主要考查了倒数的定义,解题的关键是熟记定义.
 
 
2.(3分)(2014•抚顺)若一粒米的质量约是0.000012kg,将数据0.000012用科学记数法表示为(  )
 A.21×10?4B.2.1×10?6C.2.1×10?5D.2.1×10?4

考点:科学记数法?表示较小的数..
分析:绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为a×10?n,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
解答:解:0.000012=1.2×10?5;
故选:C.
点评:题考查用科学记数法表示较小的数,一般形式为a×10?n,其中1≤|a|<10,n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
 
3.(3分)(2014•抚顺)如图所示,已知AB∥CD,CE平分∠ACD,当∠A=120°时,∠ECD的度数是(  )

 A.45°B.40°C.35°D.30°

考点:平行线的性质..
分析:根据平行线的性质求出∠DCA,根据角平分线定义求出∠DCE即可.
解答:解:∵AB∥CD,∠A=120°,
∴∠DCA=180°?∠A=60°,
∵CE平分∠ACD,
∴∠ECD=∠DCA=30°,
故选:D.
点评:本题考查了平行线的性质,角平分线定义的应用,注意:两直线平行,同旁内角互补.
 
4.(3分)(2014•抚顺)如图放置的几何体的左视图是(  )

 A.B.C.D.

考点:简单组合体的三视图..
分析:根据从左边看得到的图形是左视图,可得答案.
解答:解:左视图可得一个正方形,上半部分有条看不到的线,用虚线表示,.
故选:C.
点评:本题考查了简单组合体的三视图,从左边看得到的图形是左视图,注意中间看不到的线用虚线表示.
 
5.(3分)(2014•抚顺)下列事件是必然事件的是(  )
 A.如果|a|=|b|,那么a=b
 B.平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧
 C.半径分别为3和5的两圆相外切,则两圆的圆心距为8
 D.三角形的内角和是360°

考点:随机事件..
分析:必然事件就是一定发生的事件,即发生的概率是1的事件.
解答:解:A、如果|a|=|b|,那么a=b或a=?b,故A选项错误;
B、平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧,此时被平分的弦不是直径,故B选项错误;
C、半径分别为3和5的两圆相外切,则两圆的圆心距为8,故C选项正确;
D、三角形的内角和是180°,故D选项错误,
故选:C.
点评:考查了随机事件,解决本题要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念,理解概念是解决基础题的主要方法.用到的知识点为:必然事件指在一定条件下一定发生的事件;不确定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件.
 
6.(3分)(2014•抚顺)函数y=x?1的图象是(  )
 A.B.C.D.

考点:一次函数的图象..
分析:根据函数解析式求得该函数图象与坐标轴的交点,然后再作出选择.
解答:解:∵一次函数解析式为y=x?1,
∴令x=0,y=?1.
令y=0,x=1,
即该直线经过点(0,?1)和(1,0).
故选:D.
点评:本题考查了一次函数图象.此题也可以根据一次函数图象与系数的关系进行解答.
 
7.(3分)(2014•抚顺)下列运算正确的是(  )
 A.?2(a?1)=?2a?1B.(?2a)2=?2a2C.(2a+b)2=4a2+b2D.3x2?2x2=x2

考点:完全平方公式;合并同类项;去括号与添括号;幂的乘方与积的乘方..
分析:A、原式利用去括号法则计算得到结果,即可做出判断;
B、原式利用积的乘方运算法则计算得到结果,即可做出判断;
C、原式利用完全平方公式展开得到结果,即可做出判断;
D、原式合并得到结果,即可做出判断.
解答:解:A、?2(a?1)=?2a+2,故A选项错误;
B、(?2a)2=4a2,故B选项错误;
C、(2a+b)2=4a2+4ab+b2,故C选项错误;
D、3x2?2x2=x2,故D选项正确.
故选:D.
点评:此题考查了完全平方公式,熟练掌握公式及法则是解本题的关键.
 
8.(3分)(2014•抚顺)甲乙两地相距420千米,新修的高速公路开通后,在甲、乙两地行驶的长途客运车平均速度是原来的1.5倍,进而从甲地到乙地的时间缩短了2小时.设原来的平均速度为x千米/时,可列方程为(  )
 A.+=2B.?=2C.+=D.?=

考点:由实际问题抽象出分式方程..
分析:设原来的平均速度为x千米/时,高速公路开通后平均速度为1.5x千米/时,根据走过相同的距离时间缩短了2小时,列方程即可.
解答:解:设原来的平均速度为x千米/时,
由题意得,?=2.
故选:B.
点评:本题考查了由实际问题抽象出分式方程,解答本题的关键是读懂题意,设出未知数,找出合适的等量关系,列方程.
 
9.(3分)(2014•抚顺)如图,在平面直角坐标系中,点A是x轴正半轴上的一个定点,点P是双曲线y=(x>0)上的一个动点,PB⊥y轴于点B,当点P的横坐标逐渐增大时,四边形OAPB的面积将会(  )

 A.逐渐增大B.不变C.逐渐减小D.先增大后减小

考点:反比例函数系数k的几何意义..
分析:由双曲线y=(x>0)设出点P的坐标,运用坐标表示出四边形OAPB的面积函数关系式即可判定.
解答:解:设点P的坐标为(x,),
∵PB⊥y轴于点B,点A是x轴正半轴上的一个定点,
∴四边形OAPB是个直角梯形,
∴四边形OAPB的面积=(PB+AO)•BO=(x+AO)•=+=+•,
∵AO是定值,
∴四边形OAPB的面积是个减函数,即点P的横坐标逐渐增大时四边形OAPB的面积逐渐减小.
故选:C.
点评:本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义,解题的关键是运用点的坐标求出四边形OAPB的面积的函数关系式.
 
10.(3分)(2014•抚顺)如图,将足够大的等腰直角三角板PCD的锐角顶点P放在另一个等腰直角三角板PAB的直角顶点处,三角板PCD绕点P在平面内转动,且∠CPD的两边始终与斜边AB相交,PC交AB于点M,PD交AB于点N,设AB=2,AN=x,BM=y,则能反映y与x的函数关系的图象大致是(  )

 A.B.C.D.

考点:动点问题的函数图象..
分析:作PH⊥AB于H,根据等腰直角三角形的性质得∠A=∠B=45°,AH=BH=AB=1,则可判断△PAH和△PBH都是等腰直角三角形,得到PA=PB=AH=,∠HPB=45°,由于∠CPD的两边始终与斜边AB相交,PC交AB于点M,PD交AB于点N,而∠CPD=45°,所以1≤x≤2,再证明∠2=∠BPM,这样可判断△ANP∽△BPM,利用相似比得=,则y=,所以得到y与x的函数关系的图象为反比例函数图象,且自变量为1≤x≤2.
解答:解:作PH⊥AB于H,如图,
∵△PAB为等腰直角三角形,
∴∠A=∠B=45°,AH=BH=AB=1,
∴△PAH和△PBH都是等腰直角三角形,
∴PA=PB=AH=,∠HPB=45°,
∵∠CPD的两边始终与斜边AB相交,PC交AB于点M,PD交AB于点N
而∠CPD=45°,
∴1≤AN≤2,即1≤x≤2,
∵∠2=∠1+∠B=∠1+45°,∠BPM=∠1+∠CPD=∠1+45°,
∴∠2=∠BPM,
而∠A=∠B,
∴△ANP∽△BPM,
∴=,即=,
∴y=,
∴y与x的函数关系的图象为反比例函数图象,且自变量为1≤x≤2.
故选A.

点评:本题考查了动点问题的函数图象:利用点运动的几何性质列出有关的函数关系式,然后根据函数关系式画出函数图象,注意自变量的取值范围.
 
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)
11.(3分)(2014•抚顺)函数y=中,自变量x的取值范围是 x≠2 .

考点:函数自变量的取值范围;分式有意义的条件..
专题:计算题.
分析:求函数自变量的取值范围,就是求函数解析式有意义的条件,分式有意义的条件是:分母不为0.
解答:解:要使分式有意义,即:x?2≠0,
解得:x≠2.
故答案为:x≠2.
点评:本题主要考查函数自变量的取值范围,考查的知识点为:分式有意义,分母不为0.
 
12.(3分)(2014•抚顺)一组数据3,5,7,8,4,7的中位数是 6 .

考点:中位数..
分析:找中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数.
解答:解:先对这组数据按从小到大的顺序重新排序:3,4,5,7,7,8.
位于中间的两个数是5,7,
所以这组数据的中位数是(5+7)÷2=6.
故答案为:6.
点评:本题属于基础题,考查了确定一组数据的中位数的能力.注意找中位数的时候一定要先排好顺序,然后再根据奇数和偶数个来确定中位数,如果数据有奇数个,则正中间的数字即为所求,如果是偶数个则找中间两位数的平均数.
 
13.(3分)(2014•抚顺)把标号分别为a,b,c的三个小球(除标号外,其余均相同)放在一个不透明的口袋中,充分混合后,随机地摸出一个小球,记下标号后放回,充分混合后,再随机地摸出一个小球,两次摸出的小球的标号相同的概率是  .

考点:列表法与树状图法..
专题:计算题.
分析:列表得出所有等可能的情况数,找出两次摸出的小球的标号相同的情况数,即可求出所求的概率.
解答:解:列表如下:
abc
a(a,a)(b,a)(c,a)
b(a,b)(b,b)(c,b)
c(a,c)(b,c)(c,c)
所有等可能的情况有9种,其中两次摸出的小球的标号相同的情况有3种,
则P==.
故答案为:
点评:此题考查了列表法与树状图法,用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
 
14.(3分)(2014•抚顺)将抛物线y=(x?3)2+1先向上平移2个单位,再向左平移1个单位后,得到的抛物线解析式为 y?(x?2)2+3 .

考点:二次函数图象与几何变换..
分析:根据题意易得新抛物线的顶点,根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式.
解答:解:抛物线y=(x?3)2+1先向上平移2个单位,再向左平移1个单位后,得到的抛物线解析式为y=(x?3+1)2+1+2=(x?2)2+3,
即:y=(x?2)2+3.
故答案为:y=(x?2)2+3.
点评:此题主要考查了二次函数图象与几何变换,要求熟练掌握平移的规律:左加右减,上加下减.
 
15.(3分)(2014•抚顺)如图,⊙O与正方形ABCD的各边分别相切于点E、F、G、H,点P是上的一点,则tan∠EPF的值是 1 .

考点:切线的性质;正方形的性质;圆周角定理;锐角三角函数的定义..
分析:连接HF,EG,FG,根据切线的性质和正方形的性质可知:FH⊥EG,再由圆周角定理可得:∠EPF=∠OGF,而∠OGF=45°,问题得解.
解答:解:连接HF,EG,FG,
∵⊙O与正方形ABCD的各边分别相切于点E、F、G、H,
∴FH⊥EG,
∵OG=OF,
∴∠OGF=45°,
∵∠EPF=∠OGF,
∴tan∠EPF=tan45°=1,
故答案为:1.

点评:本题考查了正方形的性质、切线的性质、圆周角定理以及锐角三角函数的定义,题目的综合性较强,解题的关键是正确添加辅助线,构造直角三角形.
 
16.(3分)(2014•抚顺)如图,河流两岸a、b互相平行,点A、B是河岸a上的两座建筑物,点C、D是河岸b上的两点,A、B的距离约为200米.某人在河岸b上的点P处测得∠APC=75°,∠BPD=30°,则河流的宽度约为  米.

考点:解直角三角形的应用..
分析:过点P作PE⊥AB于点E,先求出∠APE及∠BPE的度数,由锐角三角函数的定义即可得出结论.
解答:解:过点P作PE⊥AB于点E,
∵∠APC=75°,∠BPD=30°,
∴∠APE=15°,∠BPE=60°,
∴AE=PE•tan15°,BE=PE•tan60°,
∴AB=AE+BE=PE•tan15°+PE•tan60°=300,
即PE(tan15°+)=300,
解得PE=(米).
故答案为:.

点评:本题考查的是解直角三角形的应用,熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键.
 
17.(3分)(2014•抚顺)将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放.如果∠3=32°,那么∠1+∠2= 70 度.

考点:三角形内角和定理;多边形内角与外角..
分析:分别根据正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数及平角的定义进行解答即可.
解答:解:∵∠3=32°,正三角形的内角是60°,正四边形的内角是90°,正五边形的内角是108°,
∴∠4=180°?60°?32°=88°,
∴∠5+∠6=180°?88°=92°,
∴∠5=180°?∠2?108°①,
∠6=180°?90°?∠1=90°?∠1②,
∴①+②得,180°?∠2?108°+90°?∠1=92°,即∠1+∠2=70°.
故答案为:70°.

点评:本题考查的是三角形内角和定理,熟知正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数是解答此题的关键.
 
18.(3分)(2014•抚顺)如图,已知CO1是△ABC的中线,过点O1作O1E1∥AC交BC于点E1,连接AE1交CO1于点O2;过点O2作O2E2∥AC交BC于点E2,连接AE2交CO1于点O3;过点O3作O3E3∥AC交BC于点E3,…,如此继续,可以依次得到点O4,O5,…,On和点E4,E5,…,En.则OnEn=  AC.(用含n的代数式表示)

考点:相似三角形的判定与性质;三角形中位线定理..
专题:规律型.
分析:由CO1是△ABC的中线,O1E1∥AC,可证得=,,以此类推得到答案.
解答:解:∵O1E1∥AC,
∴△BO1E1∽△BAC,
∴,
∵CO1是△ABC的中线,
∴=,
∵O1E1∥AC,
∴△O2O1E1∽△ACO2,
∴,
由O2E2∥AC,
可得:,

可得:OnEn=AC.
故答案为:.

点评:本题主要考查平行线分线段成比例定理,相似三角形的性质和判定的理解和掌握,能得出规律是解此题的关键.
 
三、解答题(第19题10分,第20题12分,共22分)
19.(10分)(2014•抚顺)先化简,再求值:(1?)÷,其中x=(+1)0+()?1•tan60°.

考点:分式的化简求值;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值.
专题:计算题.
分析:原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,同时利用除法法则变形,约分得到最简结果,利用零指数幂、负指数幂法则以及特殊角的三角函数值求出x的值,代入计算即可求出值.
解答:解:原式=•=•=x+1,
∵x=(+1)0+()?1•tan60°=1+2,
∴当x=1+2时,
原式=2+2.
点评:此题考查了分式的化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
 
 
20.(12分)(2014•抚顺)居民区内的“广场舞”引起媒体关注,辽宁都市频道为此进行过专访报道.小平想了解本小区居民对“广场舞”的看法,进行了一次抽样调查,把居民对“广场舞”的看法分为四个层次:A.非常赞同;B.赞同但要有时间限制;C.无所谓;D.不赞同.并将调查结果绘制了图1和图2两幅不完整的统计图.

请你根据图中提供的信息解答下列问题:
(1)求本次被抽查的居民有多少人?
(2)将图1和图2补充完整;
(3)求图2中“C”层次所在扇形的圆心角的度数;
(4)估计该小区4000名居民中对“广场舞”的看法表示赞同(包括A层次和B层次)的大约有多少人.

考点:条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图..
分析:(1)由A层次的人数除以所占的百分比求出调查的学生总数即可;
(2)由D层次人数除以总人数求出D所占的百分比,再求出B所占的百分比,再乘以总人数可得B层次人数,用总人数乘以C层次所占的百分比可得C层次的人数不全图形即可;
(3)用360°乘以C层次的人数所占的百分比即可得“C”层次所在扇形的圆心角的度数;
(4)求出样本中A层次与B层次的百分比之和,乘以4000即可得到结果.
解答:解:(1)90÷30%=300(人),
答:本次被抽查的居民有300人;

(2)D所占的百分比:30÷300=10%
B所占的百分比:1?20%?30%?10%=40%,
B对应的人数:300×40%=120(人),
C对应的人数:300×20%=60(人),
补全统计图,如图所示:

(3)360°×20%=72°,
答:“C”层次所在扇形的圆心角的度数为72°;

(4)4000×(30%+40%)=2800(人),
答:估计该小区4000名居民中对“广场舞”的看法表示赞同(包括A层次和B层次)的大约有2800人.
点评:此题考查了条形统计图,扇形统计图,以及用样本估计总体,弄清题意是解本题的关键.
 
四、解答题(第21题12分,第22题12分,共24分)
21.(12分)(2014•抚顺)如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,每个小正方形的顶点叫格点,△ABC和△DEF的顶点都在格点上,结合所给的平面直角坐标系解答下列问题:
(1)画出△ABC向上平移4个单位长度后所得到的△A1B1C1;
(2)画出△DEF绕点O按顺时针方向旋转90°后所得到的△D1E1F1;
(3)△A1B1C1和△D1E1F1组成的图形是轴对称图形吗?如果是,请直接写出对称轴所在直线的解析式.

考点:作图-旋转变换;待定系数法求一次函数解析式;作图-平移变换..
专题:作图题.
分析:(1)根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1的位置,然后顺次连接即可;
(2)根据网格结构找出点D、E、F绕点O按顺时针方向旋转90°后的对应点D1、E1、F1的位置,然后顺次连接即可;
(3)根据轴对称的性质确定出对称轴的位置,然后写出直线解析式即可.
解答:解:(1)△A1B1C1如图所示;

(2)△D1E1F1如图所示;

(3)△A1B1C1和△D1E1F1组成的图形是轴对称图形,
对称轴为直线y=x.

点评:本题考查了利用旋转变换作图,利用平移变换作图,轴对称的性质,熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置.
 
22.(12分)(2014•抚顺)近年来,雾霾天气给人们的生活带来很大影响,空气质量问题倍受人们关注,某学校计划在教室内安装空气净化装置,需购进A、B两种设备,已知:购买1台A种设备和2台B种设备需要3.5万元;购买2台A种设备和1台B种设备需要2.5万元.
(1)求每台A种、B种设备各多少万元?
(2)根据学校实际,需购进A种和B种设备共30台,总费用不超过30万元,请你通过计算,求至少购买A种设备多少台?

考点:一元一次不等式的应用;二元一次方程组的应用..
分析:(1)根据题意结合“购买1台A种设备和2台B种设备需要3.5万元;购买2台A种设备和1台B种设备需要2.5万元”,得出等量关系求出即可;
(2)利用(1)中所求得出不等关系求出即可.
解答:解:(1)设每台A种、B种设备各x万元、y万元,根据题意得出:

解得:,
答:每台A种、B种设备各0.5万元、1.5万元;

(2)设购买A种设备z台,根据题意得出:
0.5z+1.5(30?z)≤30,
解得:z≥15,
答:至少购买A种设备15台.
点评:此题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用,关键是弄懂题意,找出题目中的关键语句,列出方程和不等式.
 
五、解答题(满分12分)
23.(12分)(2014•抚顺)如图,在矩形ABCD中,E是CD边上的点,且BE=BA,以点A为圆心、AD长为半径作⊙A交AB于点M,过点B作⊙A的切线BF,切点为F.
(1)请判断直线BE与⊙A的位置关系,并说明理由;
(2)如果AB=10,BC=5,求图中阴影部分的面积.

考点:矩形的性质;切线的判定与性质;扇形面积的计算..
分析:(1)直线BE与⊙A的位置关系是相切,连接AE,过A作AH⊥BE,过E作EG⊥AB,再证明AH=AD即可;
(2)连接AF,则图中阴影部分的面积=直角三角形ABF的面积?扇形MAF的面积.
解答:解:(1)直线BE与⊙A的位置关系是相切,
理由如下:连接AE,过A作AH⊥BE,过E作EG⊥AB,
∵S△ABE=BE•AH=AB•EG,AB=BE,
∴AH=EG,
∵四边形ADEG是矩形,
∴AD=EG,
∴AH=AD,
∴BE是圆的切线;

(2)连接AF,
∵BF是⊙A的切线,
∴∠BFA=90°
∵BC=5,
∴AF=5,
∵AB=10,
∴∠ABF=30°,
∴∠BAF=60°,
∴BF=AF=5,
∴图中阴影部分的面积=直角三角形ABF的面积?扇形MAF的面积=×5×5?=.

点评:本题考查了矩形的性质、切线的判定和性质、三角形和扇形面积公式的运用以及特殊角的锐角三角函数值,题目的综合性较强,难度不小,解题的关键是正确做出辅助线.
 
六、解答题(满分12分)
24.(12分)(2014•抚顺)某经销商销售一种产品,这种产品的成本价为10元/千克,已知销售价不低于成本价,且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克,市场调查发现,该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)之间的函数关系如图所示:
(1)求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)求每天的销售利润W(元)与销售价x(元/千克)之间的函数关系式.当销售价为多少时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?
(3)该经销商想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为多少?

考点:二次函数的应用..
分析:(1)设函数关系式y=kx+b,把(10,40),(18,24)代入求出k和b即可,由成本价为10元/千克,销售价不高于18元/千克,得出自变量x的取值范围;
(2)根据销售利润=销售量×每一件的销售利润得到w和x的关系,利用二次函数的性质得最值即可;
(3)先把y=150代入(2)的函数关系式中,解一元二次方程求出x,再根据x的取值范围即可确定x的值.
解答:解:(1)设y与x之间的函数关系式y=kx+b,把(10,40),(18,24)代入得

解得,
∴y与x之间的函数关系式y=?2x+60(10≤x≤18);

(2)W=(x?10)(?2x+60)
=?2x2+80x?600,
对称轴x=20,在对称轴的左侧y随着x的增大而增大,
∵10≤x≤18,
∴当x=18时,W最大,最大为192.
即当销售价为18元时,每天的销售利润最大,最大利润是192元.

(3)由150=?2x2+80x?600,
解得x1=15,x2=25(不合题意,舍去)
答:该经销商想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为15元.
点评:本题考查了二次函数的应用,得到每天的销售利润的关系式是解决本题的关键,结合实际情况利用二次函数的性质解决问题.
 
七、解答题(满分12分)
25.(12分)(2014•抚顺)已知:Rt△A′BC′≌Rt△ABC,∠A′C′B=∠ACB=90°,∠A′BC′=∠ABC=60°,Rt△A′BC′可绕点B旋转,设旋转过程中直线CC′和AA′相交于点D.
(1)如图1所示,当点C′在AB边上时,判断线段AD和线段A′D之间的数量关系,并证明你的结论;
(2)将Rt△A′BC′由图1的位置旋转到图2的位置时,(1)中的结论是否成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由;
(3)将Rt△A′BC′由图1的位置按顺时针方向旋转α角(0°≤α≤120°),当A、C′、A′三点在一条直线上时,请直接写出旋转角的度数.

考点:几何变换综合题;全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质;等边三角形的判定与性质;旋转的性质;相似三角形的判定与性质..
专题:综合题.
分析:(1)易证△BCC′和△BAA′都是等边三角形,从而可以求出∠AC′D=∠BAD=60°,∠DC′A′=∠DA′C′=30°,进而可以证到AD=DC′=A′D.
(2)易证∠BCC′=∠BAA′,从而证到△BOC∽△DOA,进而证到△BOD∽△COA,由相似三角形的性质可得∠ADO=CBO,∠BDO=∠CAO,由∠ACB=90°就可证到∠ADB=90°,由BA=BA′就可得到AD=A′D.
(3)当A、C′、A′三点在一条直线上时,有∠AC′B=90°,易证Rt△ACB≌Rt△AC′B(HL),从而可以求出旋转角α的度数.
解答:答:(1)AD=A′D.
证明:如图1,
∵Rt△A′BC′≌Rt△ABC,
∴BC=BC′,BA=BA′.
∵∠A′BC′=∠ABC=60°,
∴△BCC′和△BAA′都是等边三角形.
∴∠BAA′=∠BC′C=60°.
∵∠A′C′B=90°,
∴∠DC′A′=30°.
∵∠AC′D=∠BC′C=60°,
∴∠ADC′=60°.
∴∠DA′C′=30°.
∴∠DAC′=∠DC′A,∠DC′A′=∠DA′C′.
∴AD=DC′,DC′=DA′.
∴AD=A′D.

(2)AD=A′D
证明:连接BD,如图2,
由旋转可得:BC=BC′,BA=BA′,∠CBC′=∠ABA′.
∴=.
∴△BCC′∽△BAA′.
∴∠BCC′=∠BAA′.
∵∠BOC=∠DOA,
∴△BOC∽△DOA.
∴∠ADO=∠OBC,=.
∵∠BOD=∠COA,
∴△BOD∽△COA.
∴∠BDO=∠CAO.
∵∠ACB=90°,
∴∠CAB+∠ABC=90°.
∴∠BDO+∠ADO=90°,即∠ADB=90°.
∵BA=BA′,∠ADB=90°,
∴AD=A′D.

(3)当A、C′、A′三点在一条直线上时,如图3,
则有∠AC′B=180°?∠A′C′B=90°.
在Rt△ACB和Rt△AC′B中,

∴Rt△ACB≌Rt△AC′B(HL).
∴∠ABC=∠ABC′=60°.
∴当A、C′、A′三点在一条直线上时,旋转角α的度数为60°.



点评:本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识,有一定的综合性.
 
26.(14分)(2014•抚顺)如图,抛物线y=ax2+x+c与x轴交于点A(4,0)、B(?1,0),与y轴交于点C,连接AC,点M是线段OA上的一个动点(不与点O、A重合),过点M作MN∥AC,交OC于点N,将△OMN沿直线MN折叠,点O的对应点O′落在第一象限内,设OM=t,△O′MN与梯形AMNC重合部分面积为S.
(1)求抛物线的解析式;
(2)①当点O′落在AC上时,请直接写出此时t的值;
②求S与t的函数关系式;
(3)在点M运动的过程中,请直接写出以O、B、C、O′为顶点的四边形分别是等腰梯形和平行四边形时所对应的t值.

考点:二次函数综合题.
分析:(1)应用待定系数法即可求得解析式.
(2)①根据平行线的性质及轴对称的性质求得∠AO′M=∠O′AM,从而求得OM=AM=,进而求得t的值;②根据平行线分线段成比例定理求得ON==t,即可求得三角形的面积S=t2;
(3)根据直线BC的斜率即可求得直线OO′的解析式y=2x,设O′(m,2m),根据O′N=t先求得m与t的关系式,然后根据O′C=OB即可求得.
解答:解:(1)∵抛物线y=ax2+x+c与x轴交于点A(4,0)、B(?1,0),
∴,
解得,
∴抛物线的解析式:y=?x2+x+2;

(2)①如图1,∵MN∥AC,
∴∠OMN=∠O′AM,∠O′MN=AO′M
∵∠OMN=∠O′MN,
∴∠AO′M=∠O′AM,
∴O′M=AM,
∵OM=O′M,
∴OM=AM=t,
∴t===2;
②由抛物线的解析式:y=?x2+x+2可知C(0,2)
∵A(4,0)、C(0,2),
∴OA=4,OC=2,
∵MN∥AC,
∴ON:OM=OC:OA=2:4=1:2,
∴ON=OM=t,
∴S===t2.

(3)如图2,∵B(?1,0),C(0,2),
∴直线BC的斜率为2,
∵OO′∥BC,
∴直线OO′的解析式为y=2x,
设O′(m,2m),
∵O′N=ON=t,
∴O′N2=m2+(2m?t)2=()2,
∴t=m,
∴O′C2=m2+(2?2m)2,
∵OB=O′C,
∴m2+(2?2m)2=(?1)2,
解得m1=1,m2=,
∴O′(1,2)或(,),
∵C(0,2),
∴当O′(1,2)时,以O、B、C、O′为顶点的四边形是平行四边形,此时t=,
当O′(,)时,以O、B、C、O′为顶点的四边形是梯形,此时t=.

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